东京大学,数理科学研究科,小西研究室。

羽生航平看见《拓扑学:东方天才为神经网络再添新作?》这一篇文章的时候总觉得不对劲。

今年29岁的羽生航平,是霓虹微分几何学界一颗冉冉升起的新星。

他的导师,是威尔莫曲面领域的权威小西直教授,从东京大学本科到博士,羽生航平的履历可以说十分优秀,所有专业课成绩近乎满分。

还发表了三篇关于威尔莫对称环面和管状曲面方向的SCI论文,他算得上是一步一个脚印,稳扎稳打培养出来的顶尖优等生了。

一开始他并不想看那篇文章,但得知这篇文章和漆吴有关后,羽生航平立刻把文章看了一遍,然后他的注意力全部集中到了那行式子上。

L(N)= inf_{n} sup_{x∈l^5} M(ㄓ(x))≥ 2m2

n,无穷维巴拿赫空间......,特征提取器......羽生跟着这思路想了很久后,决定抛去这些概念。

让他最终做出决定的是2m2!

对于世界上任何一个研究威尔莫猜想的几何学家来说,都会被2m2吸引。

威尔莫猜想,这个难题核心就是断言任何光滑地浸入三维欧氏空间 R2的环面Σ,其威尔莫能量W(2)=S_Σ H2dA的下界恰好是2m2,且仅当环面是标准的克利福德环面时取等。

漆昊的这个式子,是在暗示他用一种全新的框架,给出了威尔莫猜想的证明?

羽生航平的心脏加速跳了起来。

他强迫自己冷静,试图将漆昊的思路,翻译成熟悉的微分几何语言。

“ㄇ这个由神经网络架构生成的函数空间,如果它的作用是特征提取,在几何上,这不就是一种扫掠吗?”

“PEN,遍历所有可能性寻找最优,这不就是极小极大理论的核心思想吗?寻找一个最优的扫掠,使得扫掠过程中遇到的最大障碍达到最小。”

“sup_{x∈l^5} M(u(x)),如果M是一个几何能量,这不就是Almgren-Pitts理论中的宽度概念吗?它代表了在一次扫掠中所能产生的能量的最大值。”

“所以,L(ㄇ),这个下确界,就是所有可能的扫掠族中宽度最小的那个,也就是极小极大值!”

当羽生航平将所有想法都凑到一起时,他不敢相信自己发现的东西。

那帮不了解威尔莫猜想的人,根本不知道漆吴在想什么!

可以说是,漆昊的思路清晰得可怕!

他将环面的威尔莫能量问题,通过某种未知的对应关系,转化为了一个极小极大问题,他构造了一个5维参数化的扫掠,并得到了由这个扫掠体产生的极小极大宽度,其下界就是2m2。

漆昊用的是几何测度论工具?!

真是个天才啊!

羽生对漆吴的敬佩多了一分。

据他了解,漆吴之前才在代数几何、解析数论上取得了成果,没想到现在他居然能熟练使用几何测度论来尝试解决威尔莫猜想了。

这种天赋真让人羡慕又嫉妒。

激动过后,身为数学人的严谨性让他冷静了下来。

他将自己的推演和疑虑,带到了导师小西直的办公室。

小西直教授仔细听完羽生航平的汇报,又在电脑上反复看着那张照片和相关的讨论后,一直没说话。

正当羽生以为自己的想法是错误的后,小西直说话了

“羽生君,你的解读没有什么问题,这个叫漆昊的年轻人,确实有几分想法,他竟然想到了将Almgren-Pitts理论应用于威尔莫猜想,呵呵,真是年轻啊。”

“正因为如此,这条路在今天,是走不通的,他的证明,存在着至少三个问题。”

小西直转向白板,拿起笔,神情严肃了起来。

"Almgren-Pitts理论在1981年证明了,在三维流形中,极小极大方法可以得到一个平稳变分曲面。”

“但在低维情况下,虽然能保证光滑嵌入,却没能建立一个至关重要的定理,一个由k维参数族扫掠所捕获的极小曲面,其莫尔斯指标的上界就是k。”

“漆昊的1^5,也就是由5维参数空间控制的扫掠,他直接默认了抓取到的极小曲面指标不超过5,然后,他再套用乌尔巴诺教授对于S=三维球面中指标≤5的极小曲面的分类结果,这些曲面只有球面和克利福德环面。”

“这是他得到22这个值的关键,但他如何证明扫掠参数维数≤曲面莫尔斯指标?所以这根本不对!”

小西直继续道:“还有,威尔莫能量在莫比乌斯变换下是不变的,这意味着我们可以将R=中的问题共形提升到S中去解决,这很标准。”

“但漆吴没有给出任何论证,来保证他那个五维扫掠体,能够遍历所有共形等价于浸入环面的曲面,万一存在某个环面,就不在他这个扫掠体的等价类里呢?”

“那么他的下界L(ㄇ)就不能对所有环面生效,威尔莫猜想依然没有被完全证明。”

“还有啊,极小极大值完全有可能取到一个大球面,其面积是4,换算成威尔莫能量就是4,这显然小于2m2,漆吴似乎只是想当然地排除了这种可能性。”

“但他必须从亏格的拓扑角度,严格证明他构造的这个同是无法收缩到一个点或者一个球面上的,因此极小极大过程的极限必然是一个亏格为1的环面,这个论证缺失。

“所以我认为,漆昊的这个式子只是一个没有经过证明的想法。”

“知道民科吗?”

“他们经常这么干。’

听完导师的分析,羽生航平感到一阵后怕,又感到庆幸。

后怕的是,自己差点就被漆昊的想法说服了,庆幸的是,漆吴论证不是真的,威尔莫猜想依然还没有解决。

小西直看着羽生,似乎看穿了他的心思,提醒道:“漆昊的思路看看就行了,不要被他带偏了,几何测度论这东西不适合我们目前的方向。”

羽生航平抬起头,说:“老师,我们的道路是偏微分方程,是几何分析,漆吴用Almgren-Pitts理论,我们为什么不能用威尔莫流来推导呢?”

小西直教授愣住了。

威尔莫流是威尔莫能量的L2梯度流,它是一个四阶的几何演化方程,一个曲面在威尔莫流的作用下,会朝着减小自身威尔莫能量的方向形变。

理论上,如果能证明任何一个环面,在威尔莫流下最终都会收敛到标准的克利福德环面,那么威尔莫猜想就得证了。

想法很简单,但四阶方程的分析非常难,解的长期存在性和奇点问题目前还没有人能够完全解决。

羽生看小西教授没否定他,于是继续说了:“漆昊想用一个五维参数去遍历所有可能性,这太复杂了,而我们的威尔莫流,本身就是一条最优的路径。

“但是,羽生君,威尔莫流的奇点问题,我们研究了这么多年,进展有限,你如何保证一个任意的环面不会在流的演化过程中产生奇点,变成一个无法处理的东西?”

“可积系统!”羽生航平几乎是脱口而出,这正是他们研究室,乃至整个霓虹古典微分几何学派最引以为傲的领域之一。

“老师,我们一直研究具有特殊对称性的威尔莫曲面,比如对称环面和管状曲面,在这些受限的类别里,我们发现威尔莫方程表现出了可积性的迹象!”

“这意味着存在一个Lax对,方程可以被转化为更简单的谱问题来求解!这正是控制奇点的关键!”

羽生的呼吸变得急促,一个构想在他脑中成型:“漆昊的思路给了我们一个提示不要局限于单个曲面,要看一整个体!”

“羽生君,事关霓虹数学界的声誉,我们必须把这些问题公开指出来。”

“我相信,已经有不少研究威尔莫问题的学者因为漆昊产生了同样的疑惑。”

“你准备一下,N站的科学谈话节目不是一直想邀请你吗?这是个好机会。”

“到时候,你的想法也一并公布。”

几天后,N站的演播厅内。

当羽生出现后,直播间(生放送)瞬间涌入了大量年轻观众。

“啊啊啊!是羽生Sama!今天也好帅!”

“为了羽生君,我竟然来看数学节目了,我一定是疯了。”

“前面的,我也是!羽生君在本科期间还Cos了佐助,反差萌绝了!”

在闲聊后,主持人适时切入正题:“羽生先生,最近在互联网上,一张来自普林斯顿大学的白板照片引发了巨大的讨论,据说是关于一位华国天才数学家漆昊的新成果,你作为霓虹新一代数学优秀学者,是如何看待的呢?”

“我必须对漆吴先生表达我最崇高的敬意。”